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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones hasta el orden indicado en el punto dado
h) $f(x)=(1+x)^{6}$ orden 6 $x_{0}=0$
h) $f(x)=(1+x)^{6}$ orden 6 $x_{0}=0$
Respuesta
Para encontrar el polinomio de Taylor de la función \( f(x) = (1+x)^{6} \) de orden 6 centrado en \( x_0 = 0 \), seguimos los pasos que venimos haciendo:
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Primero, sabemos que el polinomio que estamos buscando es de esta pinta:
$ p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 + \frac{f^{(6)}(0)}{6!}x^6 $
Vamos ahora a calcular las derivadas de \( f(x) = (1+x)^{6} \) y evaluarlas en \( x_0 = 0 \)
$f(x)=(1+x)^{6}$
$f(0) = 1$
$ f'(x) = 6(1+x)^{5} $
$ f'(0) = 6 $
$ f''(x) = 30(1+x)^{4} $
$ f''(0) = 30 $
$ f'''(x) = 120(1+x)^{3} $
$ f'''(0) = 120 $
$ f^{(4)}(x) = 360(1+x)^{2} $
$ f^{(4)}(0) = 360 $
$ f^{(5)}(x) = 720(1+x) $
$ f^{(5)}(0) = 720 $
$ f^{(6)}(x) = 720 $
$ f^{(6)}(0) = 720 $
Listo, sustituimos en nuestro Taylor:
$ p(x) = 1 + 6x + \frac{30}{2!}x^2 + \frac{120}{3!}x^3 + \frac{360}{4!}x^4 + \frac{720}{5!}x^5 + \frac{720}{6!}x^6 $
Y acá podemos simplificar un poco:
$ p(x) = 1 + 6x + \frac{30}{2}x^2 + \frac{120}{6}x^3 + \frac{360}{24}x^4 + \frac{720}{120}x^5 + \frac{720}{720}x^6 $
$ p(x) = 1 + 6x + 15x^2 + 20x^3 + 15x^4 + 6x^5 + x^6 $