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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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3. Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones hasta el orden indicado en el punto dado
h) f(x)=(1+x)6f(x)=(1+x)^{6} orden 6 x0=0x_{0}=0

Respuesta

Para encontrar el polinomio de Taylor de la función f(x)=(1+x)6 f(x) = (1+x)^{6} de orden 6 centrado en x0=0 x_0 = 0 , seguimos los pasos que venimos haciendo:
Primero, sabemos que el polinomio que estamos buscando es de esta pinta:
p(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+f(4)(0)4!x4+f(5)(0)5!x5+f(6)(0)6!x6 p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 + \frac{f^{(6)}(0)}{6!}x^6

Vamos ahora a calcular las derivadas de f(x)=(1+x)6 f(x) = (1+x)^{6} y evaluarlas en x0=0 x_0 = 0

f(x)=(1+x)6f(x)=(1+x)^{6}
f(0)=1f(0) = 1
f′(x)=6(1+x)5 f'(x) = 6(1+x)^{5} f′(0)=6 f'(0) = 6 f′′(x)=30(1+x)4 f''(x) = 30(1+x)^{4} f′′(0)=30 f''(0) = 30 f′′′(x)=120(1+x)3 f'''(x) = 120(1+x)^{3} f′′′(0)=120 f'''(0) = 120 f(4)(x)=360(1+x)2 f^{(4)}(x) = 360(1+x)^{2} f(4)(0)=360 f^{(4)}(0) = 360 f(5)(x)=720(1+x) f^{(5)}(x) = 720(1+x) f(5)(0)=720 f^{(5)}(0) = 720 f(6)(x)=720 f^{(6)}(x) = 720 f(6)(0)=720 f^{(6)}(0) = 720
Listo, sustituimos en nuestro Taylor:
p(x)=1+6x+302!x2+1203!x3+3604!x4+7205!x5+7206!x6 p(x) = 1 + 6x + \frac{30}{2!}x^2 + \frac{120}{3!}x^3 + \frac{360}{4!}x^4 + \frac{720}{5!}x^5 + \frac{720}{6!}x^6
Y acá podemos simplificar un poco: p(x)=1+6x+302x2+1206x3+36024x4+720120x5+720720x6 p(x) = 1 + 6x + \frac{30}{2}x^2 + \frac{120}{6}x^3 + \frac{360}{24}x^4 + \frac{720}{120}x^5 + \frac{720}{720}x^6
p(x)=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6 p(x) = 1 + 6x + 15x^2 + 20x^3 + 15x^4 + 6x^5 + x^6
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